Corrigé du livre :Transmath 4e - TransmathPage103Exercice42

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont des nombres premiers. En revanche, 9 n’est pas premier car il se divise par 3.

B) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers consiste à écrire ce nombre comme un produit de nombres premiers. On effectue cette décomposition en divisant successivement par les plus petits nombres premiers possibles (2, 3, 5, 7…).

Par exemple :

\[\begin{aligned} 60 &= 2 \times 30 \\ &= 2 \times 2 \times 15 \\ &= 2^2 \times 3 \times 5 \end{aligned}\]

On dit donc que \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\).

C) Lorsqu’on doit décomposer un produit de nombres, il faut d’abord décomposer chaque facteur en nombres premiers, puis regrouper les facteurs identiques. Ainsi, si on veut décomposer \(45 \times 20\), on procède ainsi :

\[\begin{aligned} 45 &= 3^2 \times 5 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} 20 &= 2^2 \times 5 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} 45 \times 20 &= (3^2 \times 5) \times (2^2 \times 5) \\ &= 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \end{aligned}\]

D) Lorsque le même facteur premier apparaît plusieurs fois, on peut utiliser les puissances pour simplifier l’écriture. Par exemple, écrire \(2 \times 2 \times 2 \times 3\) revient à écrire :

\[\begin{aligned} 2 \times 2 \times 2 \times 3 &= 2^3 \times 3 \end{aligned}\]

Cela rend la décomposition plus claire et plus rapide à lire.