Corrigé du livre :Transmath 4e - TransmathPage103Exercice31

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un nombre premier est un nombre entier qui a exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même.

Par exemple, \(13\) est premier car ses seuls diviseurs sont \(1\) et \(13\).

En revanche, \(15\) n’est pas premier, car il est divisible par \(1\), \(3\), \(5\) et \(15\).

Attention : \(0\) et \(1\) ne sont pas des nombres premiers.

B) Deux nombres forment un couple si on les associe ensemble. Ici, on cherche des couples de nombres premiers.

Comme on parle d’une différence de \(6\), si un premier nombre est \(a\), l’autre doit être \(a+6\).

Autrement dit, on cherche des nombres premiers espacés de \(6\).

Exemple : \(17\) et \(23\) forment un tel couple car \(23-17=6\).

C) La différence entre deux nombres se calcule par une soustraction.

Pour vérifier qu’un couple convient, on soustrait le plus petit nombre au plus grand.

\[\begin{aligned} 29-23 &= 6 \end{aligned}\]

Donc \(23\) et \(29\) ont bien une différence de \(6\).

En revanche :

\[\begin{aligned} 31-27 &= 4 \end{aligned}\]

Donc \(27\) et \(31\) ne conviennent pas.

D) Le crible d’Ératosthène permet de repérer facilement les nombres premiers dans une liste.

Le principe est de barrer tous les nombres qui ne sont pas premiers, c’est-à-dire ceux qui ont d’autres diviseurs que \(1\) et eux-mêmes.

Une fois le crible complété, il suffit de lire les nombres qui ne sont pas barrés : ce sont les nombres premiers.

Ensuite, on peut chercher parmi eux ceux qui sont séparés de \(6\).

E) Pour être sûr de ne rien oublier, il est utile de suivre une méthode simple :

1. repérer tous les nombres premiers entre \(0\) et \(100\) grâce au crible ;

2. prendre un nombre premier ;

3. ajouter \(6\) ;

4. vérifier si le résultat est encore un nombre premier ;

5. si oui, les deux nombres forment un couple recherché.

Exemple avec une autre situation :

\[\begin{aligned} 41+6 &= 47 \end{aligned}\]

Si \(41\) et \(47\) sont premiers, alors ils forment un couple de nombres premiers de différence \(6\).

F) Il faut aussi faire attention à l’intervalle demandé : ici, on cherche des nombres entre \(0\) et \(100\).

Donc les deux nombres du couple doivent appartenir à cet intervalle.

Par exemple, si un nombre premier vaut \(97\), alors :

\[\begin{aligned} 97+6 &= 103 \end{aligned}\]

Comme \(103\) n’est plus entre \(0\) et \(100\), ce couple ne doit pas être retenu.