Corrigé du livre :Transmath 4e - TransmathPage103Exercice34

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11 et 13 sont des nombres premiers. En revanche, 9 n’est pas premier car il peut s’écrire \(9 = 3 \times 3\).

B) Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers consiste à l’écrire comme une multiplication ne contenant que des nombres premiers. Par exemple, pour décomposer 36, on cherche des nombres premiers dont le produit donne 36 :

\[\begin{aligned} 36 &= 2 \times 18 \\ &= 2 \times 2 \times 9 \\ \text{et comme } 9 &= 3 \times 3, \\ \Rightarrow 36 &= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \end{aligned}\]

On peut aussi regrouper les facteurs identiques sous forme de puissance :

\[\begin{aligned} 36 &= 2^{2} \times 3^{2} \end{aligned}\]

C) Pour savoir si un nombre est divisible par un autre, on peut utiliser des critères de divisibilité :

• Un nombre est divisible par 2 s’il est pair (s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8).
• Il est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Il est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
• Il est divisible par 10 s’il se termine par 0.

D) La décomposition en produit de facteurs premiers est unique : chaque nombre entier supérieur à 1 peut s’écrire d’une seule manière (à l’ordre des facteurs près) comme produit de nombres premiers. Par exemple, \(72 = 2^{3} \times 3^{2}\) est la seule décomposition de 72 en nombres premiers.