Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage220Exercice62

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Cela signifie que si un quadrilatère s’appelle, par exemple, \(PQRS\), alors on a :

\[ PQ = QR = RS = SP \]

Pour reconnaître ou construire un losange, on utilise donc surtout l’idée d’égalité des longueurs.

B) Quand on lit que A est sur la droite \((d)\), cela veut dire que le point A doit être placé exactement sur cette droite, et pas à côté. On note parfois cela : \(A \in (d)\).

Si un point n’est pas sur la droite, on peut écrire \(A otin (d)\).

C) Pour construire un point situé à une distance donnée d’un autre point, on utilise souvent le compas. En effet, l’ensemble des points situés à la même distance d’un point forme un cercle.

Par exemple, tous les points situés à \(4\) cm d’un point \(P\) appartiennent au cercle de centre \(P\) et de rayon \(4\) cm.

Cette idée est très utile pour construire un losange, car si tous les côtés doivent être égaux, certains points cherchés doivent être à la même distance de points déjà connus.

D) Si l’on veut que \(MNAB\) soit un losange, alors les côtés du quadrilatère sont, dans l’ordre :

\[ MN,\ NA,\ AB,\ BM \]

Ils doivent donc vérifier :

\[ MN = NA = AB = BM \]

Autrement dit :

- le point \(A\) doit être choisi pour que \(NA = MN\) ;
- puis le point \(B\) doit être choisi pour que \(BM = MN\) et \(AB = MN\).

Il faut donc bien respecter l’ordre des lettres dans le quadrilatère.

E) L’intersection de deux lignes permet souvent de trouver un point qui vérifie deux conditions en même temps.

Par exemple, si un point \(K\) doit être à \(3\) cm de \(R\) et aussi à \(3\) cm de \(S\), alors \(K\) se trouve à l’intersection de deux cercles : un cercle de centre \(R\), et un cercle de centre \(S\), tous deux de rayon \(3\) cm.

Dans un exercice de construction, on cherche souvent un point en croisant :

- une droite ;
- un cercle ;
- ou deux cercles.

F) Pour vérifier qu’une construction est correcte, on peut contrôler les longueurs des côtés à la règle ou au compas. Si c’est un losange, les quatre côtés doivent être égaux.

Par exemple, si on obtient :

\[ UV = 5\text{ cm},\quad VW = 5\text{ cm},\quad WX = 5\text{ cm},\quad XU = 5\text{ cm} \]

alors \(UVWX\) est bien un losange.

G) En géométrie, il faut aussi être très attentif au vocabulaire :

- une droite est illimitée des deux côtés ;
- un segment relie deux points ;
- la longueur d’un segment est un nombre.

Par exemple, \([CD]\) désigne le segment, tandis que \(CD\) désigne sa longueur.

H) Enfin, dans une figure de construction, il peut y avoir plusieurs positions possibles pour un point, tant que toutes les conditions sont respectées. Il faut donc chercher les points qui satisfont à la fois :

- la position imposée sur la droite ;
- et les égalités de longueurs nécessaires pour former le losange.

C’est cette combinaison de conditions qui permet de trouver la bonne construction.