Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage220Exercice69

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et ils ont aussi la même longueur. Cela signifie que si un quadrilatère est un parallélogramme, alors on peut écrire par exemple \(AB \parallel CD\), \(BC \parallel AD\), \(AB = CD\) et \(BC = AD\).

Pour construire un parallélogramme à partir de trois sommets, on utilise souvent cette propriété : le quatrième sommet se place de façon à obtenir deux paires de côtés opposés parallèles.

B) Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Donc, pour montrer qu’une figure est un losange, il faut réussir à établir une égalité entre les quatre côtés.

Par exemple, si on sait que \(EFGH\) est un parallélogramme, que \(EF = 4\) cm et que \(FG = 4\) cm, alors comme dans un parallélogramme les côtés opposés sont égaux, on obtient aussi \(GH = 4\) cm et \(HE = 4\) cm. Les quatre côtés ont donc la même longueur : \(EFGH\) est un losange.

C) Quand un énoncé donne une égalité comme \(MN = MP\), cela signifie que deux côtés issus du même sommet ont la même longueur. On peut alors en déduire que le triangle formé par ces deux côtés est un triangle isocèle.

Par exemple, si \(RS = RT\), alors le triangle \(RST\) est isocèle en \(R\). Cela peut être utile pour reconnaître une figure ou pour faciliter une construction.

D) La notation \(\widehat{NMP} = 30^\circ\) désigne un angle. La lettre du milieu indique le sommet de l’angle : ici, le sommet est \(M\). Cela veut dire que l’angle formé par les segments \([MN]\) et \([MP]\) mesure \(30^\circ\).

Pour construire un angle, on utilise en général un rapporteur. Par exemple, si \(\widehat{ABC} = 40^\circ\), on place le centre du rapporteur sur \(B\), puis on trace une demi-droite faisant un angle de \(40^\circ\) avec l’autre côté de l’angle.

E) Pour une construction géométrique, il faut bien respecter les longueurs données. Si deux segments ont la même longueur, on peut les tracer au compas en gardant le même écartement.

Par exemple, si \(UV = UW = 5\) cm, on peut tracer \([UV]\), puis avec le compas ouvert à \(5\) cm et piqué en \(U\), placer un point \(W\) sur la demi-droite choisie pour avoir aussi \(UW = 5\) cm.

F) Pour rédiger une démonstration, il faut enchaîner les propriétés dans l’ordre. On commence par les informations données dans l’énoncé, puis on utilise une propriété connue, et on termine par une conclusion claire.

Par exemple, on peut rédiger ainsi : « On sait que \(IJKL\) est un parallélogramme. Donc \(IJ = KL\) et \(JK = IL\). Si l’on sait aussi que \(IJ = JK\), alors on obtient \(IJ = JK = KL = IL\). Donc \(IJKL\) est un losange. »