Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage220Exercice72

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Symétrie centrale de centre O

Dire que M est le symétrique de A par rapport à O signifie que le point O est le milieu du segment \([AM]\). De même, si N est le symétrique de B par rapport à O, alors O est le milieu du segment \([BN]\).

On retient donc :

\[ O \text{ milieu de } [AM] \qquad \text{et} \qquad O \text{ milieu de } [BN] \]

Par exemple, si un point P a pour symétrique Q par rapport à un centre C, alors C est le milieu de \([PQ]\).

B) Reconnaître un parallélogramme

Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu.

Autrement dit, si dans un quadrilatère les deux diagonales se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Dans un quadrilatère \(EFGH\), les diagonales sont \([EG]\) et \([FH]\). Si un même point est le milieu de \([EG]\) et de \([FH]\), alors \(EFGH\) est un parallélogramme.

C) Droites perpendiculaires

Deux droites perpendiculaires forment un angle droit. On note cela avec le symbole \(\perp\).

Par exemple, si \((u)\perp(v)\), alors tout segment porté par \((u)\) est perpendiculaire à tout segment porté par \((v)\).

Donc, si un point A est sur une droite \((u)\) et un point B sur une droite \((v)\), avec \((u)\perp(v)\), alors les directions de \(OA\) et \(OB\) sont perpendiculaires, et l’angle \(AOB\) est droit.

D) Reconnaître un losange

Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.

On peut aussi retenir qu’un parallélogramme est un losange si deux côtés consécutifs ont la même longueur.

Par exemple, si dans un parallélogramme \(RSTU\), on sait que \(RS = ST\), alors \(RSTU\) est un losange.

E) Conserver les longueurs avec une symétrie centrale

La symétrie centrale conserve les longueurs. Cela signifie que si un point est transformé par symétrie centrale, les distances correspondantes restent égales.

Par exemple, si X et Y ont pour symétriques X' et Y' par rapport à un même centre, alors :

\[ XY = X'Y' \]

Cette idée peut être utile pour montrer que certains côtés d’un quadrilatère ont la même longueur.

F) Bien identifier les diagonales d’un quadrilatère

Dans un quadrilatère \(ABMN\), les côtés sont \([AB]\), \([BM]\), \([MN]\) et \([NA]\).

Les diagonales relient deux sommets opposés : ici, ce sont donc \([AM]\) et \([BN]\).

C’est important, car pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on regarde souvent le milieu de ses diagonales, et non celui de ses côtés.