Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage220Exercice64

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un exercice de type « vrai ou faux ? », il ne suffit pas de répondre par un seul mot : il faut justifier. Pour justifier, on peut soit montrer que l’affirmation est toujours vraie, soit donner un contre-exemple, c’est-à-dire une figure qui vérifie les conditions mais pour laquelle la conclusion est fausse.

Par exemple, si on affirme : « Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c’est forcément un carré », c’est faux, car un losange a aussi quatre côtés de même longueur sans avoir nécessairement quatre angles droits.

B) Un quadrilatère est une figure qui possède quatre côtés. Les diagonales d’un quadrilatère sont les segments qui relient deux sommets opposés. Dans un quadrilatère \(ABCD\), les diagonales sont \([AC]\) et \([BD]\).

Il est important de ne pas confondre :

les côtés : \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\)

les diagonales : \([AC]\) et \([BD]\)

C) Deux droites ou deux segments sont perpendiculaires lorsqu’ils se coupent en formant un angle droit, c’est-à-dire un angle de \(90^\circ\).

Si deux diagonales sont perpendiculaires, cela signifie simplement qu’elles se croisent à angle droit. Cette propriété peut apparaître dans plusieurs quadrilatères, par exemple certains losanges ou certains cerfs-volants. Donc, à elle seule, cette information ne suffit pas toujours pour reconnaître un carré.

D) Dire que deux segments sont de même longueur signifie qu’ils ont la même mesure. Par exemple, si une diagonale mesure \(6{,}4\) cm et l’autre aussi \(6{,}4\) cm, alors elles sont de même longueur.

Mais attention : avoir des diagonales de même longueur ne suffit pas non plus à garantir qu’une figure est un carré. Par exemple, un rectangle a des diagonales de même longueur, sans être forcément un carré.

E) Pour reconnaître un carré, il faut se souvenir qu’un carré est à la fois :

un rectangle : il a \(4\) angles droits ;

et un losange : il a \(4\) côtés de même longueur.

On peut aussi retenir quelques propriétés du carré :

ses diagonales sont de même longueur ;

ses diagonales sont perpendiculaires ;

ses diagonales se coupent en leur milieu.

Mais attention au sens de lecture : ce n’est pas parce qu’une figure a certaines propriétés du carré qu’elle est forcément un carré. Il faut vérifier qu’il y a assez d’informations.

F) Pour montrer qu’une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. Il faut alors chercher une figure qui respecte bien les conditions données, mais qui n’est pas la figure annoncée dans la conclusion.

Par exemple, si on trouve un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur, mais qui n’est pas un carré, alors l’affirmation est fausse.

G) Quand on lit une phrase mathématique commençant par « si ... alors ... », il faut bien distinguer :

l’hypothèse : ce qu’on suppose vrai au départ ;

la conclusion : ce qu’on veut en déduire.

Ici, l’hypothèse porte sur les diagonales du quadrilatère, et la conclusion affirme que la figure est un carré. Pour répondre correctement, il faut donc se demander : les informations sur les diagonales suffisent-elles vraiment à imposer un carré ?