Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage220Exercice67

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un cercle, tous les segments qui relient le centre à un point du cercle sont des rayons, donc ils ont la même longueur.

Par exemple, si un cercle a pour centre \(M\) et pour rayon \(4\) cm, alors pour tout point \(P\) placé sur le cercle, on a \(MP=4\) cm.

Ici, si des points sont sur un même cercle de centre \(O\), alors les segments qui vont de \(O\) vers ces points sont égaux. Cela permet souvent de montrer que certains points sont à la même distance du centre.

B) Quand une droite passe par le centre d’un cercle et coupe ce cercle en deux points, le segment formé est un diamètre.

Donc si \(O\) appartient au segment \([EF]\) et que \(E\) et \(F\) sont sur le cercle, alors \([EF]\) est un diamètre du cercle.

On peut aussi dire que le centre est le milieu d’un diamètre, car il partage ce segment en deux parties égales : \[ OE=OF \] et \(O\) est aligné avec \(E\) et \(F\).

C) Pour montrer qu’un point est le milieu d’un segment, il faut vérifier deux choses :

• le point appartient au segment ;

• il est à la même distance des deux extrémités.

Autrement dit, pour montrer que \(N\) est le milieu de \([GH]\), il faut avoir \(N \in [GH]\) et \(NG=NH\).

Dans ce type d’exercice, on utilise souvent le fait que le centre du cercle est le milieu de deux segments différents.

D) Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu.

Autrement dit, si dans un quadrilatère les segments \([IK]\) et \([JL]\) se coupent en leur milieu au point \(S\), alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

C’est une propriété très utile : au lieu d’étudier les côtés, on peut étudier les diagonales.

E) Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit. Mais on peut aussi utiliser une autre propriété très pratique :

Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.

Par exemple, si \(RSTU\) est un parallélogramme et si \[ RT=SU, \] alors \(RSTU\) est un rectangle.

F) Dans une figure, il est important de bien repérer ce que sont les diagonales d’un quadrilatère.

Si on considère le quadrilatère \(PQRS\), alors ses diagonales sont \([PR]\) et \([QS]\), c’est-à-dire les segments qui relient deux sommets opposés.

Dans ce genre de démonstration, on cherche souvent à montrer :

• que les diagonales ont le même milieu, pour prouver que c’est un parallélogramme ;

• puis qu’elles ont la même longueur, pour conclure que c’est un rectangle.

G) Pour rédiger une démonstration, il faut enchaîner les idées dans l’ordre.

Une méthode possible est :

• montrer que \(O\) est le milieu d’une première diagonale ;

• montrer que \(O\) est aussi le milieu de l’autre diagonale ;

• en déduire que le quadrilatère est un parallélogramme ;

• utiliser ensuite l’égalité de deux segments issus du cercle pour montrer que les diagonales sont de même longueur ;

• conclure que le parallélogramme est un rectangle.

Cette méthode permet de construire une réponse claire, logique et complète.