Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage220Exercice71

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et les côtés consécutifs sont perpendiculaires. Cela signifie par exemple que \(AB \parallel CD\), \(AD \parallel BC\) et que \(AB \perp AD\). Les quatre angles du rectangle mesurent \(90^\circ\).

On peut aussi rappeler que les diagonales d’un rectangle se coupent en leur milieu. Si leur point d’intersection est \(O\), alors \(O\) est le centre du rectangle, et on a : \[ OA = OC \quad \text{et} \quad OB = OD. \] Autrement dit, \(O\) est le milieu de \([AC]\) et aussi le milieu de \([BD]\).

B) Une droite est perpendiculaire à une autre droite lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit. Si une droite passant par \(O\) est perpendiculaire à \((AD)\) et coupe \((AD)\) en \(M\), alors on sait que \(OM \perp AD\).

Comme, dans un rectangle, \(AB \perp AD\), deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. On peut donc utiliser la propriété suivante :

Si \(OM \perp AD\) et \(AB \perp AD\), alors \(OM \parallel AB\).

De la même façon, si \(ON \perp AB\) et \(AD \perp AB\), alors \(ON \parallel AD\).

C) Pour reconnaître la nature d’un quadrilatère, on observe souvent le parallélisme de ses côtés. Par exemple :

Si, dans un quadrilatère, les côtés opposés sont parallèles, alors c’est un parallélogramme.

Dans la figure étudiée, si l’on montre que \(AM \parallel ON\) et que \(AN \parallel OM\), alors le quadrilatère \(AMON\) est un parallélogramme.

D) Pour aller plus loin, on peut rappeler qu’un quadrilatère ayant quatre angles droits est un rectangle. Donc, si un quadrilatère est déjà un parallélogramme et qu’un de ses angles est droit, alors c’est un rectangle.

Par exemple, si dans un quadrilatère on sait que deux côtés consécutifs sont perpendiculaires, alors l’un de ses angles mesure \(90^\circ\). Si ce quadrilatère est aussi un parallélogramme, on peut conclure que c’est un rectangle.

E) Il est utile de bien distinguer segment, droite et milieu. Le segment \([XY]\) est la portion comprise entre \(X\) et \(Y\), tandis que la droite \((XY)\) se prolonge des deux côtés. Dire que \(K\) est le milieu de \([XY]\), c’est dire que \(K \in [XY]\) et que \(XK = KY\).

Par exemple, si un segment mesure \(8\) cm et que son milieu est \(L\), alors : \[ XL = LY = 4\ \text{cm}. \] Cette idée est importante quand on utilise le centre d’un rectangle, car ce centre est le milieu de chaque diagonale.