Corrigé du livre :Maths 5e - Maths & tiquesPage220Exercice65

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Dans un quadrilatère, les côtés opposés sont les côtés qui ne se touchent pas. Par exemple, dans un quadrilatère \(EFGH\), les côtés opposés sont \( [EF] \) et \( [GH] \), puis \( [FG] \) et \( [EH] \).

Quand on lit une figure, il faut donc bien repérer quelles longueurs sont comparées.

B) Avoir des côtés opposés de même longueur ne suffit pas, à lui seul, pour affirmer qu’un quadrilatère est un rectangle. Cela permet en revanche de reconnaître un parallélogramme si les deux paires de côtés opposés sont de même longueur.

Autrement dit, si dans un quadrilatère on a \(EF = GH\) et \(FG = EH\), alors on peut conclure que \(EFGH\) est un parallélogramme.

C) Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits. On peut aussi dire qu’un rectangle est un parallélogramme particulier.

Donc, pour prouver qu’une figure est un rectangle, il ne suffit pas de regarder seulement les longueurs des côtés : il faut aussi une propriété sur les angles, ou utiliser une propriété caractéristique d’un rectangle.

D) Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu, mais elles ne sont pas forcément de même longueur.

Dans un rectangle, en revanche, les diagonales ont la même longueur.

Il faut donc faire attention au sens des propriétés :

Si une figure est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur.

Mais l’égalité de certaines longueurs sur les côtés ne permet pas automatiquement de dire que la figure est un rectangle.

E) En géométrie, il est important de distinguer l’observation et la démonstration. Une figure peut sembler être un rectangle parce qu’elle “ressemble” à un rectangle, mais ce n’est pas une preuve.

Pour justifier une conclusion, on doit utiliser une propriété du cours. Par exemple :

\[ \text{Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors c’est un rectangle.} \]

Ou encore :

\[ \text{Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur.} \]

F) Quand on rédige un raisonnement, il faut enchaîner les idées dans le bon ordre :

on repère les informations données, puis on utilise une propriété, et enfin on écrit la conclusion.

Par exemple, on peut rédiger ainsi :

\[ \text{On sait que } EF = GH \text{ et } FG = EH. \]

\[ \text{Donc } EFGH \text{ est un parallélogramme.} \]

Mais à ce stade, on ne peut pas encore conclure que \(EFGH\) est un rectangle, sauf si une information supplémentaire le prouve.