Corrigé de l'exercice 33, page 49 - Transmath 5e

⭐ À savoir pour bien répondre :

A) Développer avec la distributivité (somme) : pour tout nombre \(k\) et toute expression \(a+b\), on a la propriété \(\;k(a+b)\;=\;ka+kb\). Exemple :

\[\begin{aligned} 7(x+3) &= 7x + 7\times 3 \\ &= 7x + 21 \end{aligned}\]

B) Développer avec la distributivité (différence) : pour tout nombre \(k\) et toute expression \(a-b\), on a \(\;k(a-b)\;=\;ka-kb\). Exemple :

\[\begin{aligned} 6(11-t) &= 6\times 11 - 6\times t \\ &= 66 - 6t \end{aligned}\]

C) Mise en évidence du facteur commun (factoriser) : l’égalité précédente fonctionne aussi en sens inverse. Si une expression est une somme ou une différence de termes ayant un même facteur, on peut « sortir » ce facteur. Exemple :

\[\begin{aligned} 9u + 27 &= 9(u + 3) \end{aligned}\]

Et pour une différence :

\[\begin{aligned} 50m - 20 &= 10(5m - 2) \end{aligned}\]

D) Gestion des signes : le signe « − » devant une parenthèse change les signes à l’intérieur quand on développe. Si \(k\) est négatif, on distribue son signe. Exemples :

\[\begin{aligned} -4(z+2) &= -4z - 8 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} -3(5-w) &= -15 + 3w \end{aligned}\]

E) Priorités de calcul et parenthèses : on effectue d’abord les calculs dans les parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. La distributivité permet de supprimer des parenthèses quand elles sont multipliées par un nombre. Exemple :

\[\begin{aligned} (3q+2)\times 5 &= 3q\times 5 + 2\times 5 \\ &= 15q + 10 \end{aligned}\]

F) Multiplier par un nombre décimal ou par 10, 100, 1000… : multiplier par \(10\) décale la virgule d’un rang vers la droite ; par \(100\), de deux rangs, etc. Exemple :

\[\begin{aligned} 10\times 0{,}35p &= 3{,}5p \end{aligned}\]

On applique ces règles terme à terme lors d’un développement :

\[\small \begin{aligned} 20(0{,}35p - 4{,}8) &= 20\times 0{,}35p - 20\times 4{,}8 \\ &= 7p - 96 \end{aligned}\]

G) Vérification rapide : pour contrôler un développement, on peut remplacer la lettre par une valeur simple (par exemple \(x=2\)) et comparer les deux formes. Exemple :

\[\begin{aligned} 7(x+3) &= 7(2+3) \\ &= 7\times 5 \\ &= 35 \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} 7x+21 &= 7\times 2 + 21 \\ &= 14 + 21 \\ &= 35 \end{aligned}\]

Les deux résultats sont identiques : le développement est cohérent.